Excel® Studie Bézier-Cascade & Hermite - Versionsgeschichte

NLB am 26. Januar 2016 um 18:32 Uhr

2016-01-26T18:32:15Z

NLB am 25. Januar 2016 um 19:03 Uhr

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NLB am 4. Januar 2016 um 20:13 Uhr

2016-01-04T20:13:21Z

NLB am 8. Februar 2013 um 19:24 Uhr

2013-02-08T19:24:38Z

NLB am 8. Februar 2013 um 19:19 Uhr

2013-02-08T19:19:30Z

NLB am 8. Februar 2013 um 19:17 Uhr

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NLB am 8. Februar 2013 um 19:15 Uhr

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NLB am 8. Februar 2013 um 19:01 Uhr

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NLB am 8. Februar 2013 um 18:58 Uhr

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NLB am 8. Februar 2013 um 18:50 Uhr

2013-02-08T18:50:59Z

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 '''Die 2. Ableitung '''
-*gekennzeichnet durch F-Doppel-Strich  f ''
+*gekennzeichnet durch F-Doppel-Strich  f ' '
 :gibt die Änderung der Steigung an. Sie gibt also Auskunft über die Krümmung des Graphen.

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 *Der Graph einer stetigen Funktion hat keine Sprungstellen.
 :Kurven werden als stetig erachtet, wenn sich ihr Funktions-Wert (y-Wert) bei kleinen Änderungen des Argument-Wertes (x-Wert) ebenfalls um nur kleine Werte ändert; eine stetige Funktion darf Knickstellen aufweisen.
-:Eine Sägezahnkurve gilt somit per Definition als stetig!
+:Eine ''Sägezahnkurve'' gilt somit per Definition als ''stetig''! Gut nachvollziehbar, wenn man sie als Fourier-Reihe einer mit ihren Harmonischen überlagerten sin-Kurve betrachtet; sehr anschaulich: https://de.wikipedia.org/wiki/Kippschwingung.
-*Führt eine kleine Änderung des x-Wertes in eine große (sprunghafte) Änderung des Funktionswertes so ist die Funktion "unstetig".
+*Führt eine kleine Änderung des x-Wertes in eine große (sprunghafte) Änderung des Funktionswertes so ist die Funktion "''unstetig''".
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 *Jede Ableitung einer Funktion kann als (neue) eigenständige Funktion aufgefaßt werden.
-*Eine reelle Funktion ist an beliebiger Stelle X dann stetig differenzierbar,
+*Eine reelle Funktion ist an beliebiger Stelle X dann ''stetig'' differenzierbar,
-:wenn ihre Ableitungsfunktion an dieser Stelle X stetig ist.
+:wenn ihre Ableitungsfunktion an dieser Stelle X ''stetig'' ist. Die Sägezahnkurve gilt als "''stückweise stetig''" differenzierbar.

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 *Die Schieber können Werte erzeugen, deren Koordinaten außerhalb des Diagramms liegen. Ein Excel®-Diagramm paßt sich standardmäßig den max-Koordinaten an. Diese Funktion ist abgeschaltet, da eine permanente Maßstab Veränderung ausgesprochen störend ist. Mit den Buttons "AutoScala/AutoScala linear" wird der Maßstab gezielt aktualisiert.
 }}
 =Weblinks=

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 ==Ableitungsalgorithmen ==
 Die Studie, Release 07 verfolgt 2 unterschiedliche Algorithmen:
-*Für Bézier wird die Ableitung aus dem Differentialquotienten gebildet, die 4 Bern-stein-Grafen werden hierzu für die 1. und 2. Ableitung jeweils getrennt differen-ziert, dies ist fraglos der mathematisch einwandfreie Ansatz.
+*Für Bézier wird die Ableitung aus dem Differentialquotienten gebildet, die 4 Bernstein-Grafen werden hierzu für die 1. und 2. Ableitung jeweils getrennt differenziert, dies ist fraglos der mathematisch einwandfreie Ansatz.
-*Für Hermite werden die Ableitungen nicht als Differentialquotient, sondern als Differenzenquotient ermittelt. Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, von der abzuleitenden Funktion unabhängig zu sein, so daß es für die Analyse-Umschaltung Hermite vs. Bézier gleichermaßen einsetzbar ist. Dieser Universal-Ansatz wird möglich, da die Kurve über die Polynome parametriert für t = 0 bis t = 1 errechnet wird; diese t-Parameter können als Zeitraster aufgefaßt werden. Das Zeitraster ist konstant, es muß daher nicht einmal dividiert werden: Die Differenz der Nachbarn ergibt bereits die Ableitung nach Delta t! Die Grafik der Ableitungen ist etwas "tricky": Naturgemäß ist die Anzahl der Differenzen um 1 kleiner als die Anzahl ihrer Basiswerte; für "t = 0" und "t = 1" werden die Werte extrapoliert.
+*Für Hermite werden die Ableitungen nicht als Differentialquotient, sondern als Differenzenquotient ermittelt. Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, von der abzuleitenden Funktion unabhängig zu sein, so daß es für die Analyse-Umschaltung  ''Hermite vs. Bézier'' gleichermaßen einsetzbar ist. Dieser Universal-Ansatz wird möglich, da die Kurve über die Polynome parametriert für t = 0 bis t = 1 errechnet wird; diese t-Parameter können als Zeitraster aufgefaßt werden. Das Zeitraster ist konstant, es muß daher nicht einmal dividiert werden: Die Differenz der Nachbarn ergibt bereits die Ableitung nach Delta t! Die Grafik der Ableitungen ist etwas "tricky": Naturgemäß ist die Anzahl der Differenzen um 1 kleiner als die Anzahl ihrer Basiswerte; für "t = 0" und "t = 1" werden die Werte extrapoliert.
 Beide Verfahren führen zu "nahezu auf den Punkt" übereinstimmenden Ergebnissen,

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 :gibt die Änderung der Steigung an. Sie gibt also Auskunft über die Krümmung des Graphen.
+*Zur 2. Ableitung eine tragische Berühmtheit: Die Todesspirale, Looping-Attraktion großer Achterbahnen zum Anfang des vorigen Jahrhunderts. Eine schräg abfallende Gerade geht in einen tangentialen Kreis mit Überschlag über und steigt danach in einer schrägen Gerade wieder an. Obwohl Gerade und Kreis tangential ineinander übergehen, kam es zu Genickbrüchen!
-*Zur 2. Ableitung eine tragische Berühmtheit: Die Todesspirale, Looping-Attraktion großer Achterbahnen zum Anfang des vorigen Jahrhunderts. Eine schräg abfallende Gerade geht in einen tangentialen Kreis mit Überschlag über und steigt da-nach in einer schrägen Gerade wieder an. Obwohl Gerade und Kreis tangential ineinander übergehen, kam es zu Genickbrüchen!
 :Die Geschwindigkeit wird durch die Steigung des Graphen beschrieben, die Beschleunigung durch deren Änderung (2. Ableitung) und diese ist bei Übergang von Gerade in Kreis schlagartig - will heißen unendlich!
-:Moderne Achterbahnen-Konstruktionen beachten dies und werden als Spline be-rechnet.
+:Moderne Achterbahnen-Konstruktionen beachten dies und werden als Spline berechnet.

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 '''Die 1. Ableitung '''
 *gekennzeichnet durch: F-Strich f '
-:gibt die Änderung des Funktionswertes an, d.h. die Steigung des Funktionsgra-phen an einer bestimmten Stelle (Knotenpunkt).
+:gibt die Änderung des Funktionswertes an, d.h. die Steigung des Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle (Knotenpunkt).
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 *Zur 2. Ableitung eine tragische Berühmtheit: Die Todesspirale, Looping-Attraktion großer Achterbahnen zum Anfang des vorigen Jahrhunderts. Eine schräg abfallende Gerade geht in einen tangentialen Kreis mit Überschlag über und steigt da-nach in einer schrägen Gerade wieder an. Obwohl Gerade und Kreis tangential ineinander übergehen, kam es zu Genickbrüchen!
-:Die Geschwindigkeit wird durch die Steigung des Graphen beschrieben, die Be-schleunigung durch deren Änderung (2. Ableitung) und diese ist bei Übergang von Gerade in Kreis schlagartig - will heißen unendlich!
+:Die Geschwindigkeit wird durch die Steigung des Graphen beschrieben, die Beschleunigung durch deren Änderung (2. Ableitung) und diese ist bei Übergang von Gerade in Kreis schlagartig - will heißen unendlich!
 :Moderne Achterbahnen-Konstruktionen beachten dies und werden als Spline be-rechnet.

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 '''Stetigkeit '''
 *Der Graph einer stetigen Funktion hat keine Sprungstellen.
-:Kurven werden als stetig erachtet, wenn sich ihr Funktions-Wert (y-Wert) bei klei-nen Änderungen des Argument-Wertes (x-Wert) ebenfalls um nur kleine Werte ändert; eine stetige Funktion darf Knickstellen aufweisen.
+:Kurven werden als stetig erachtet, wenn sich ihr Funktions-Wert (y-Wert) bei kleinen Änderungen des Argument-Wertes (x-Wert) ebenfalls um nur kleine Werte ändert; eine stetige Funktion darf Knickstellen aufweisen.
 :Eine Sägezahnkurve gilt somit per Definition als stetig!
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 *Fast stetig sind Ableitungen,
-die nur einen (im Verhältnis zur Ableitungsamplitude) geringen Sprung aufweisen.
+:die nur einen (im Verhältnis zur Ableitungsamplitude) geringen Sprung aufweisen.

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 :Diese im Ergebnis interessante Alternative geht – ähnlich dem Frottee Handtuch und Penicillin – auf einen Entwicklungsfehler, hier im Algorithmus der Ellipse zurück. Öffnungswinkel < 90 Grad werden überspitzt, Öffnungswinkel > 90 Grad abgeflacht verbunden. Bei symmetrischen 90 Gradwinkeln bildet sich ein Kreisbogen, bei unsymmetrischen eine Ellipse mit getauschten Anfassern.
 *Kurve 1&2
 :Die bisher als  Kurve2  bezeichnete hat sich bei Internet-Recherchen als "Klassiker" erwiesen, unterschiedliche Algorithmen verfolgen den selben Rechenansatz, - vor diesem Hintergrund führt Sie ab Rel. 06 die Bezeichnung Kurve1.
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 *"Bauch-Faktor"
-:Für die Kurven 1&2 ist im Bereich der "Anfasser-Berechnung" ein "Bauch-Faktor" wählbar.
+:Für die Kurven  1 bis 3  ist im Bereich der "Anfasser-Berechnung" ein "Bauch-Faktor" wählbar.
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 Übung:
 *Wählen Sie für die Anfasser der Start- und Endpunkte (Kurven 1&2) manuell die Flucht- und Einlaufwinkel, mit denen der Punkt getroffen werden soll.
-*Kopieren Sie "Quadrat" und rufen Sie Kurve3 auf. Ein ¾ Kreis erscheint.
+*Kopieren Sie "Quadrat" und rufen Sie Kurve3(Ov) auf. Ein ¾ Kreis erscheint.
 :Betrachten wir die Ableitungen des ¾ Bézier-Kreises: Klassisch wäre er auf die Überlagerung von Sinus und Cosinus zurückzuführen. Die Ableitung des sin bringt cos, die Ableitung des cos bringt -sin. Nicht aber hier!

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 ==Weg-Zeit Diagramm der xy-Achsen ==
-Die im Hauptdiagramm gezeigte Kurvenform wird in CNC- und Robotersystemen letztendlich aus mehreren Achsen, im einfachsten Fall der x- und y-Achse erzeugt. Die Studie zeigt zur weiteren Analyse daher das Weg-Zeit Diagramm nach x- und y Achse, die beiden anderen Diagramme die jeweilige Achsengeschwindigkeit und de-ren Beschleunigung/Verzögerung – also die erste und zweite Ableitung.
+Die im Hauptdiagramm gezeigte Kurvenform wird in CNC- und Robotersystemen letztendlich aus mehreren Achsen, im einfachsten Fall der x- und y-Achse erzeugt. Die Studie zeigt zur weiteren Analyse daher das Weg-Zeit Diagramm nach x- und y Achse, die beiden anderen Diagramme die jeweilige Achsengeschwindigkeit und deren Beschleunigung/Verzögerung – also die erste und zweite Ableitung.
 *Die 1. Ableitung von Bézier-Kurven ist im Knotenpunkt stetig, wenn
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 *Die 2. Ableitung von Bézier-Kurven ist nur selten stetig; dies insbesondere, falls ein Wendepunkt des Weg-Zeit Diagramms in den Knotenpunkt fällt!
 Übung:
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 *Kopieren Sie "Quadrat" und rufen Sie Kurve3 auf. Ein ¾ Kreis erscheint.
-Betrachten wir die Ableitungen des ¾ Bézier-Kreises: Klassisch wäre er auf die Überlagerung von Sinus und Cosinus zurückzuführen. Die Ableitung des sin bringt cos, die Ableitung des cos bringt -sin. Nicht aber hier!
+:Betrachten wir die Ableitungen des ¾ Bézier-Kreises: Klassisch wäre er auf die Überlagerung von Sinus und Cosinus zurückzuführen. Die Ableitung des sin bringt cos, die Ableitung des cos bringt -sin. Nicht aber hier!
 Übung:

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-*Die Studie ermöglicht es so, manuell Kurven zu ermitteln, deren 1. und 2. Ablei-tung stetig sind – sie zeigt jedoch auch, daß sich hierbei die Kurvenform ändert.
+*Die Studie ermöglicht es so, manuell Kurven zu ermitteln, deren 1. und 2. Ableitung stetig sind – sie zeigt jedoch auch, daß sich hierbei die Kurvenform ändert.
 *Die Studie zeigt ergänzend Algorithmen auf, Winkel und Betrag der Bézier-Anfasser automatisch zu berechnen, um gegebene Stützstellen (Teach-In Punkte) mit einem cascadierten Bézier-Spline zu verbinden.
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 :Bei der Ellipse wird der Radius aus dem Schnittpunkt der beiden Tangentenlote im Knotenpunkt, beim Oval aus den beiden Schnittpunkten mit dem Mittelpunktslot der Sehne errechnet. Öffnungswinkel <> 90 Grad verzerren Ellipse bzw. Oval.
 *Tangenten-Flach/Spitzbogen
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 *Kurve3(Ov)
-:berechnet die Winkellage der Anfasser analog zu Kurve2, die Länge aus dem Öffnungswinkel der Kreissegmente. ''Im Ergebnis ergibt dies "ovale" Kurven, ''
+:berechnet die Winkellage der Anfasser analog zu Kurve2, die Länge aus dem Öffnungswinkel der Kreissegmente. ''Im Ergebnis ergibt dies "ovale" Kurven, '' - liegen die Mittelpunkte aufeinander, so formt sich ein approximierter Kreis.
 - liegen die Mittelpunkte aufeinander, so formt sich ein approximierter Kreis.