Bezier, Hermite & Spline Interpolation - Versionsgeschichte

NLB am 19. Juni 2017 um 11:44 Uhr

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NLB am 9. Januar 2016 um 16:41 Uhr

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NLB am 9. Januar 2016 um 16:37 Uhr

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NLB am 3. Januar 2016 um 14:26 Uhr

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NLB am 2. Januar 2016 um 19:04 Uhr

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NLB am 2. Januar 2016 um 18:43 Uhr

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NLB am 1. Januar 2016 um 15:33 Uhr

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NLB am 1. Januar 2016 um 15:29 Uhr

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NLB am 8. Februar 2013 um 18:36 Uhr

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	:*weil dieser Artikel sonst zu groß würde (meint ein freundlicher ''Lektor'' im Hintergrund) !!!		:*weil dieser Artikel sonst zu groß würde (meint ein freundlicher ''Lektor'' im Hintergrund) !!!

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		+	=Bézier und die Kettenlinie=
		+	Auf der Suche nach einem besonders harmonischen Übergang zweier Geraden unter beliebigem Winkel bin ich auf die Kettenlinie gestoßen. Die Klassische Kettenlinie hängt "nach unten" durch; wird Ihre Form mit Bezier Kurven approximiert, so müßte jede beliebige Lage einer Kettenlinie möglich werden. Untersucht wird das Thema unter
		+
		+	:*[[Bézier und die Kettenlinie]]

	=Inverse Kinematik=		=Inverse Kinematik=

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 =Inverse Kinematik=
-Die hier besprochene Mathematik beschreibt eine direkte (Weg-lineare) XYZ-Ansteuerung von Steppern und Servos. Soll das Werkzeug jedoch nicht linear im XYZ Koordinatensystem (CNC-Fräse), sondern von einem Roboterarm geführt werden, so wird dies ein ebenso spannendes Thema:
+Die hier besprochene Mathematik beschreibt eine "''Koordinaten-lineare''" XYZ-Ansteuerung von Steppern und Servos. Soll das Werkzeug jedoch nicht linear im XYZ Koordinatensystem (CNC-Fräse), sondern von einem Roboterarm geführt werden, so wird dies ein ebenso spannendes Thema:
 :*[[Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)]]

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 =Inverse Kinematik=
-Die hier besprochene Mathematik beschreibt eine direkte (schritt-lineare) XYZ-Ansteuerung von Steppern und Servos. Soll das Werkzeug jedoch nicht linear im XYZ Koordinatensystem (CNC-Fräse), sondern von einem Roboterarm geführt werden, so wird dies ein ebenso spannendes Thema:
+Die hier besprochene Mathematik beschreibt eine direkte (Weg-lineare) XYZ-Ansteuerung von Steppern und Servos. Soll das Werkzeug jedoch nicht linear im XYZ Koordinatensystem (CNC-Fräse), sondern von einem Roboterarm geführt werden, so wird dies ein ebenso spannendes Thema:
 :*[[Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)]]

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	:*[[Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)]]		:*[[Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)]]
−	:*[[Inverse Kinematik 2 – Praxis ~~(Manual-Auszug)~~]]	+	:*[[Inverse Kinematik 2 – Praxis ]]

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	:*[[Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)]]		:*[[Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)]]
−	:*[[Inverse Kinematik 2 – ~~Theorie~~ (Manual-Auszug)]]	+	:*[[Inverse Kinematik 2 – Praxis (Manual-Auszug)]]

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 :*dazu nach [[Excel® Studie Bézier-Cascade & Hermite]] wechseln,
 :*weil dieser Artikel sonst zu groß würde (meint ein freundlicher ''Lektor'' im Hintergrund) !!!
 =Inverse Kinematik=
 Die hier besprochene Mathematik beschreibt eine direkte (schritt-lineare) Ansteuerung von Steppern und Servos. Soll das Werkzeug jedoch nicht linear im XYZ Koordinatensystem (CNC-Fräse), sondern von einem Roboterarm geführt werden, so wird dies ein ebenso spannendes Thema:
-Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)
+:*[[Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)]]
-Inverse Kinematik 2 – Theorie (Manual-Auszug)
+:*[[Inverse Kinematik 2 – Theorie (Manual-Auszug)]]

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		+	=Inverse Kinematik=
		+	Die hier besprochene Mathematik beschreibt eine direkte (schritt-lineare) Ansteuerung von Steppern und Servos. Soll das Werkzeug jedoch nicht linear im XYZ Koordinatensystem (CNC-Fräse), sondern von einem Roboterarm geführt werden, so wird dies ein ebenso spannendes Thema:
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		+	Inverse Kinematik 1 – Theorie (Tutorial)
		+	Inverse Kinematik 2 – Theorie (Manual-Auszug)

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 *Der Kubische Spline ist eine stetig fortschreitende Kurve, sie kann stetige Veränderungen recht gut interpolieren, Sprung-Funktionen provozieren hingegen starkes Überschwingen.
 *Der Kubische Spline kann nicht geschlossen werden.
-:Um die Verwirrung etwas voran zutreiben, kann man natürlich mit einem, nein zwei Kubischen-Splines schon etwas kreisförmiges bewirken. Ähnlich wie die stetig fortschreitende sin/cos Überlagerung in der klassischen CNC einen Kreis plot-tet, können stetig fortschreitende Splines aus der Überlagerung natürlich ebenfalls "das Werkzeug zurückführen".
+:Um die Verwirrung etwas voran zutreiben, kann man natürlich mit einem, nein zwei Kubischen-Splines schon etwas kreisförmiges bewirken. Ähnlich wie die stetig fortschreitende sin/cos Überlagerung in der klassischen CNC einen Kreis plottet, können stetig fortschreitende Splines aus der Überlagerung natürlich ebenfalls "das Werkzeug zurückführen".
 Die Spline-Mathematik schaut bei jeder Interpolation des Kurvenverlaufes nach links und rechts, also wo die Kurve herkommt (vorheriger Stützpunkt) und wo sie hin soll, wenn der Stützpunkt verlassen wird (nächster Stützpunkt). Im mittleren Kurverbereich ist dies unproblematisch, für die Start- und Endpunkte schon – denn es gibt keine Stützpunkte außerhalb der Kurve.
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 '''Noch einmal:'''
-Bézier- & Casteljau-Kurven sind schön –wie die Autos der 50iger und 60iger-, sie können Punkt-symmetrisch, Achsen-symmetrisch oder unsymmetrisch sein. Zwei Geraden verbinden sie wunderbar, einen oder mehrere dazwischen liegende Punkte interpolieren sie hingegen eher zufällig; es sei denn, man cascadiert.
+Bézier- & Casteljau-Kurven sind schön –wie die Autos der 50iger und 60iger, sie können Punkt-symmetrisch, Achsen-symmetrisch oder unsymmetrisch sein. Zwei Geraden verbinden sie wunderbar, einen oder mehrere dazwischen liegende Punkte interpolieren sie hingegen eher zufällig; es sei denn, man cascadiert.
 Hier wird es interessant:
-*Wird lediglich die Kurve (z.B. für eine Zeichnung) benötigt, so besteht lediglich die Forderung, daß beide Kurvensegmente im Knotenpunkt eine gemeinsame Tan-gente aufweisen müssen;
+*Wird lediglich die Kurve (z.B. für eine Zeichnung) benötigt, so besteht lediglich die Forderung, daß beide Kurvensegmente im Knotenpunkt eine gemeinsame Tangente aufweisen müssen;
 *kommen, wie bei CNC- und Roboter- Steuerungen Dynamikanforderungen hinzu, so gilt: ''Die sich aus der Cascadierung ergebende Kurve selbst, also ihre Funktion sowie deren 1te und 2te Ableitung müssen in den Knotenpunkten (t = 0 bzw. t =1) stetig sein, um den "weichen Übergang" zu gewährleisten.''

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 Recht ähnlich in ihrem Aussehen – in ihrem Verhalten jedoch völlig anders als "Natürliche, kubische Splines" – sind Bézier- und Casteljau-Kurven. Beide Herren haben in den frühen 60igern des vorigen Jahrhunderts von einander (vermutlich) unabhängig – weil für die Konkurrenzfirmen Citroen und Renault tätig, eine deckungsgleiche Kurve entwickelt. Bézier suchte den Ansatz in der numerischen Mathematik mit Computern der späten 50iger (bitte mal in Erinnerung rufen; es gab keine Computer-Grafik, sondern IBM-Kettendrucker & Co; was der Mann leistete ist phänomenal; so entwickelte er eigens eins der ersten CAD Systeme, UNISURF).
-Casteljau suchte den Ansatz in der darstellenden Geometrie und technischen Me-chanik. Seine Lösung baut auf Getriebelehre auf. Vorteil dieser Lösung: Modelle / Werkzeuge konnten  - ohne Umweg über eine Zeichnung - direkt "aus dem Vollen geschnitzt" werden (auch CNC-Fräsen waren noch nicht erfunden).
+Casteljau suchte den Ansatz in der darstellenden Geometrie und technischen Mechanik. Seine Lösung baut auf Getriebelehre auf. Vorteil dieser Lösung: Modelle / Werkzeuge konnten  - ohne Umweg über eine Zeichnung - direkt "aus dem Vollen geschnitzt" werden (auch CNC-Fräsen waren noch nicht erfunden).
 Ob nun Bézier oder Casteljau: Die Kurve und ihre Konstruktion kann man (nachdem man's weiß) verhältnismäßig leicht nachempfinden: