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Regelungstechnik

aus RN-Wissen, der freien Wissensdatenbank

Regelungen sind ein Bestandteil unseres Lebens und das nicht nur seit Erfindung der Dampfmaschine.

Allein schon der aufrechte Gang funktioniert nur mit Regelung. Dabei wirken die Sinne als Sensoren, das Gehirn als Regler und die Muskeln als Aktuatoren. Weitere Regelungen in unserem Körper sind z.B. die Konstanthaltung der Körpertemperatur, der Blutdruck, die Anpassung der Pupille auf Helligkeitsänderungen usw.

Im technischen Zeitalter ist der erste geschichtlich bedeutende Regler der Fliehkraftregler von James Watt, der f√ľr die Drehzahlregelung seiner Dampfmaschine eingesetzt wurde. Seitdem ist die Regelungstechnik aus keinem Technikbereich mehr wegzudenken. Die Regelungstechnik begegnet uns im t√§glichen Leben auf Schritt und Tritt: Der Temperaturregler der Zentralheizung, der Temperaturregler des K√ľhlschranks, der Regler f√ľr die Belichtungsautomatik im Fotoapparat, das ABS-System im Auto und die Netzspannungs- und Frequenzregelung des europ√§ischen Versorgungsnetzes sind nur einige wenige Beispiele aus diesem Bereich.

Autor Waste

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Der Begriff Regelung ist zu unterscheiden von dem im allgemeinen Sprachgebrauch oft synonym gebrauchten Begriff der Steuerung. Das Steuern ist ein rein vorw√§rts gerichteter Prozess ohne R√ľckkopplung. Die Ausgangsgr√∂√üe wird dabei nicht √ľberwacht und kann sich durch St√∂rungen von au√üen ver√§ndern. Ein Beispiel ist die Steuerung eines Motors mit einer einstellbaren Spannung. Durch Last√§nderungen wird sich die Drehzahl des Motors √§ndern. Soll nun die Drehzahl konstant gehalten werden, bedarf es einer R√ľckkopplung um √ľber die Spannung die Drehzahl anzupassen. Diese R√ľckkopplung ist das Kennzeichen einer Regelung.

Das Regeln ist ein Vorgang, bei dem die Ausgangsgr√∂√üe, im Beispiel die Drehzahl, fortlaufend √ľberwacht wird und bei Abweichung √ľber die Stellgr√∂√üe, im Beispiel die Spannung, korrigiert wird. Der sich dabei ergebende Wirkungsablauf findet in einem geschlossenen Kreis, dem Regelkreis, statt.

Der Regelkreis

Ein Regelkreis (Prinzip)
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Ein Regelkreis (Prinzip)

Das Prinzip einer Regelung ist das fortlaufende: Messen ‚Äď Vergleichen ‚Äď Stellen

Messen
Die Regelgröße wird direkt oder mittels Sensoren gemessen.
Vergleichen
Der Wert der Regelgröße wird mit dem Sollwert verglichen. Die Differenz ist die Regelabweichung.
Stellen
Aus der Regelabweichung wird unter Ber√ľcksichtigung der dynamischen Eigenschaften der Regelstrecke die Stellgr√∂√üe bestimmt.

Wirkunsweise einer Regelung
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Wirkunsweise einer Regelung

Ein Regelkreis dient dazu, eine vorgegebene physikalische Gr√∂√üe, die Regelgr√∂√üe, auf einen gew√ľnschten Wert (Sollwert) zu bringen und dort zu halten, unabh√§ngig von eventuell auftretenden St√∂rungen. Um die Regelungsaufgabe zu erf√ľllen, muss der Augenblickswert der Regelgr√∂√üe ‚Äď der Istwert ‚Äď gemessen und mit dem Sollwert verglichen werden. Bei auftretenden Abweichungen muss in geeigneter Art und Weise nachgestellt werden.

Um nun diese Aufgabe technisch zu lösen, gibt es die Regelungstechnik. Sie baut im wesentlichen auf die mathematische Beschreibung und Modellbildung des Systems Regelkreis. Zur Modellierung, Beschreibung und Simulation werden Blockschaltbilder mit diskreten Signalgliedern verwendet.


Beispiel einer Geschwindigkeits­regelung
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Beispiel einer Geschwindigkeits­regelung

Ein typisches Beispiel f√ľr einen Regelkreis ‚Äď eine Geschwindigkeits­regelung ‚Äď wird im nebenstehenden Bild gezeigt. Die Sollgeschwindigkeit ist 80 km/h. Durch eine √§u√üere St√∂rung, in dem Fall eine Steigung, verlangsamt sich das Fahrzeug auf 70 km/h. Die Abweichung wird durch das Tachometer erfasst. Als Korrekturma√ünahme wird mehr Gas gegeben, um wieder auf die Sollgeschwindigkeit von 80 km/h zu kommen.


Begriffe

Ein Regelkreis besteht entsprechend des vereinfachten Blockschaltbildes, wie es oft in der Regelungstechnik verwendet wird, aus den Hauptteilen Regler und Regelstrecke:

Regler
Ist der Teil des Regelkreises, der unter Ber√ľcksichtigung der dynamischen Eigenschaften der Regelstrecke aus der Regelabweichung die Korrekturma√ünahmen zum Ausregeln ergreift.
Regelstrecke
Ist der Teil des Regelkreises, der vom Regler ausgeregelt werden soll.
F√ľhrungsgr√∂√üe (Sollwert) w
Vorgegebener Wert, auf dem die Regelgr√∂√üe durch die Regelung gehalten werden soll. Sie ist eine von der Regelung nicht beeinflusste Gr√∂√üe und wird von au√üen zugef√ľhrt.
Regelgröße (Istwert) x
Ist die Ausgangsgr√∂√üe der Regelstrecke, die zum Zweck des Regelns erfasst und zum Vergleich r√ľckgef√ľhrt wird. In vielen F√§llen ist in der R√ľckf√ľhrung noch eine Messeinrichtung (Sensor) gezeichnet, die den Istwert erfasst, hier der Einfachheit halber weggelassen.
Regelabweichung e
Differenz zwischen F√ľhrungsgr√∂√üe und Regelgr√∂√üe e = w ‚Äď x, bildet die eigentliche Eingangsgr√∂√üe des Reglers.
Stellgröße y
Ausgangsgr√∂√üe der Regeleinrichtung und zugleich Eingangsgr√∂√üe der Strecke. Sie √ľbertr√§gt die steuernde Wirkung des Reglers auf die Strecke.
Störgröße z
Eine von au√üen wirkende Gr√∂√üe, die eine √Ąnderung des Istwertes der Regelgr√∂√üe bewirkt und einen Regelvorgang ausl√∂st.

Die Regelstrecke

Die Regelstrecke stellt den zu regelnden Teil bzw. den zu regelnden Prozess dar und umfasst normalerweise eine Reihe von einzelnen Gliedern. Die Glieder werden entsprechend ihrem Zeitverhalten charakterisiert. Um das Zeitverhalten herauszufinden, legt man an den Eingang ein Testsignal an und zeichnet die Antwort auf. Im einfachsten Fall wird der Eingang mit einer sprunghaften √Ąnderung beaufschlagt. Die Antwort auf die sprunghafte √Ąnderung der Eingangsgr√∂√üe wird Sprungantwort genannt und gibt Aufschluss √ľber die Art der Regelstrecke und kann eventuell bereits genutzt werden, um die Parameter der Regelstrecke zu bestimmen.

F√ľr den Aufbau eines gut funktionierenden Regelkreises und die Auslegung von Reglern ist es eine Voraussetzung zu wissen, wie die Regelstrecke reagiert. Ohne ein genaues Wissen um das dynamische Verhalten der Regelstrecke ist es nicht m√∂glich geeignete Regler auszuw√§hlen und diese zu parametrieren.

Die wichtigsten dynamischen Grundelemente zur Charakterisierung der Regelstrecke sind nachfolgend aufgelistet. Jedes Element wird mit einem Block dargestellt und darin durch ein Symbol oder der stilisierten Sprungantwort gekennzeichnet.


Proportionalglied (P-Glied)

pglied.gif

Die einfachste Art einer Regelstrecke.

Beispiele
Hebel, Getriebe, Verstärker, Spannungsteiler, Sensoren bei denen das Zeitverhalten vernachlässigt werden kann

Integrator (I-Glied)

iglied.gif

Strecke ohne Ausgleich, ist häufig in Regelstrecken vorhanden.

Beispiele
Beschleunigung ‚Üí Geschwindigkeit ‚Üí Weg, Strom ‚Üí Kondensatorspannung

Verzögerungsglied 0.Ordnung (Totzeitglied)

ttglied.gif

Entsteht durch Laufzeiten von Material oder Signalen. Je größer die Verzögerungszeit einer Regelstrecke ist, um so schwieriger ist sie zu regeln.

Beispiele
Förderband, Rechenzeit, A/D-Wandler

Nicht zu verwechseln mit der Totzeit, die durch das asynchrone Auftreten eines Ereignisses auf einen Zyklus entsteht. Vom Verzögerungsglied 0.Ordnung unterscheidet sich diese dadurch, daß sie mit einer gleichverteilten Wahrscheinlichkeit zwischen "gar nicht" und dem gesamten Umfang auftritt. Diese Totzeit ist mechanisch mit einem Spiel vergleichbar das "gar nicht" bis zum vollen Umfang zu einem Fehler beiträgt.

Beispiele
Erkennen eines Signals an einem Mikroprozessor

Verzögerungsglied 1.Ordnung (PT1-Glied)

pt1glied.gif

Viele einfache Regelstrecken haben ein solches Verhalten bzw. können näherungsweise damit beschrieben werden. Ist ein P-Glied mit nicht vernachlässigbarem Zeitverhalten.

Beispiele
Gleichstrommotor (Spannung → Drehzahl), näherungsweise; Widerstand-Kondensator-Schaltung (RC-Glied)

Verzögerungsglied 2.Ordnung (PT2-Glied)

Man unterscheidet schwingungsf√§hige und nicht schwingungsf√§hige PT2-Glieder. Zur Charakterisierung gibt es die Parameter D√§mpfung D und Eckfrequenz w0 oder die Zeitkonstanten T1 und T2. F√ľr D√§mpfung D<1 ist es schwingungsf√§hig.

Schwingfähiges PT2-Glied:
pt2aglied.gif

Beispiele
Mechanischer Schwinger (Feder-Masse-System), elektrischer Schwingkreis (RLC-Kreis)


Nicht schwingfähiges PT2-Glied:
pt2bglied.gif

Beispiele
Zwei hintereinander geschaltete PT1-Glieder, Gleichstrommotor (Spannung ‚Üí Drehzahl) mit ber√ľcksichtigter Induktivit√§t

Der Regler

Der Regler hat die Aufgabe, die Regelgr√∂√üe zu messen, sie mit dem Sollwert zu vergleichen und bei Abweichungen die Stellgr√∂√üe so zu ver√§ndern, dass Soll- und Istwert der Regelgr√∂√üe wieder √ľbereinstimmen bzw. die Differenz minimal wird.

Die Wahl eines bestimmten Reglertyps richtet sich nach dem geforderten Zeitverhalten und der geforderten Regelgenauigkeit der Regelstrecke. Nachfolgend finden Sie eine Zusammenfassung der wichtigsten klassischen Reglertypen:

P-Regler

Der proportionalwirkende Regler multipliziert die Regelabweichung mit seinem Verst√§rkungsfaktor Kp und gibt das Ergebnis unverz√∂gert weiter. Er unterscheidet sich prinzipiell nicht vom dynamischen Element P-Glied, ist nur eben k√ľnstlich hergestellt f√ľr den Einsatz als Regler. Der P-geregelte Kreis ist einfach und mittelschnell im Vergleich zu anderen Regelungen. Das Problem ist die bleibende Regelabweichung!

pregler.gif

Software P-Regler:

y = Kp * e

I-Regler

Der integralwirkende Regler summiert die Regelabweichung √ľber der Zeit auf und multipliziert die Summe (d.h. das Integral) mit dem Faktor Ki. Je l√§nger eine Regelabweichung ansteht, desto gr√∂√üer wird die Stellgr√∂√üe des I-Reglers. Er unterscheidet sich prinzipiell nicht vom dynamischen Element I-Glied, ist nur eben k√ľnstlich hergestellt f√ľr den Einsatz als Regler. Der I-geregelte Kreis ist langsam im Vergleich zu anderen Regelungen. Er hat aber den Vorteil, dass die Abweichung vollst√§ndig eliminiert wird.

iregler.gif

Software I-Regler:

esum = esum + e
y = Ki * Ta * esum

esum ist die Summe aller bisherigen Abweichungen e. Der Parameter des Software I-Reglers ist abhängig von der Rechenschrittweite Ta (Abtastzeit). Je öfter gerechnet wird, desto öfter wird auch hinzugezählt (aufintegriert). Eine kleine Abtastzeit erfordert also einen kleineren Faktor, dies wird durch die Multiplikation mit Ta verwirklicht.


PI-Regler

Der PI-Regler ist die Kombination aus P- und I-Regler und kombiniert den Vorteil des P-Reglers, nämlich schnelle Reaktion, mit dem Vorteil des I-Reglers, der exakten Ausregelung. Der PI-geregelte Kreis ist also genau und mittelschnell.

piregler.gif

Software PI-Regler:

esum = esum + e
y = Kp * e + Ki * Ta * esum

PD-Regler

Der proportional-differential wirkende Regler kombiniert den P-Regler mit einem D-Anteil. Der D-Anteil bewertet die √Ąnderung einer Regelabweichung (er differenziert) und berechnet so deren √Ąnderungsgeschwindigkeit. Diese wird mit dem Faktor Kd multipliziert und zum P-Anteil hinzuaddiert. Der PD-Regler reagiert damit schon auf Ank√ľndigungen von Ver√§nderungen, das bewirkt sozusagen ein Vorhalten beim Regeln.

Der PD-geregelte Kreis ist sehr schnell im Vergleich zu anderen Regelungen, und manche Regelkreise (solche mit zweifacher Integration) sind ohne D-Anteil √ľberhaupt nicht stabilisierbar. Das Problem der proportionalen Regler, die bleibende Regelabweichung, ist beim PD-Regler allerdings weiterhin vorhanden!

Ein Nachteil aller Regler mit D-Anteil kann die Unruhe im Kreis sein. Ist das Sensorsignal verrauscht, so wird dieses Rauschen durch die Differenziation weiter verst√§rkt und wieder in den Kreis hineingegeben. Dadurch wird der Aktuator st√§rker belastet. Macht der Regler insbesondere sehr hohe Ausschl√§ge als Folge von schnellen √Ąnderungen des Sollwertes, dann kann es sein, dass das Stellglied oder der Aktuator diese nicht umsetzen kann - die Wirkung des D-Anteils w√ľrde dann durch die Begrenzung verpuffen, und das Einschwingverhalten w√§re nicht wie berechnet, sondern meist langsamer. Dies gilt aber nur f√ľr gro√üe Spr√ľnge. Bei den normalen kleinen Regelvorg√§ngen zum Ausgleich von St√∂reinfl√ľssen wirkt der D-Anteil wie beabsichtigt.

pdregler.gif

Software PD-Regler:

y = Kp * e + Kd * (e ‚Äď ealt)/Ta
ealt = e

Mit der neuesten Regelabweichung e und der vorhergehenden ealt wird der D-Anteil berechnet. Die Differenziation erfolgt damit angenähert durch Bildung des Differenzquotienten (e - ealt)/Ta.


PID-Regler

Der PID Regler ist der universellste der klassischen Regler und vereinigt die guten Eigenschaften der anderen Regler. Zur Beschreibung der Eigenschaften des P-, I- und D-Anteils siehe die anderen Reglertypen. Der PID-geregelte Kreis ist genau und sehr schnell. In den meisten Anwendungen kommt deshalb der PID-Regler zum Einsatz.

pidregler.gif

Software PID-Regler:

esum = esum + e
y = Kp * e + Ki * Ta * esum + Kd * (e ‚Äď ealt)/Ta
ealt = e


Alternative PID-Reglerstruktur:

Es gibt 2 Darstellungsm√∂glichkeiten, die inhaltlich identisch sind. In der analogen Regeltechnik ist noch die Darstellung mit der Nachstellzeit Tn und der Vorhaltezeit Tv √ľblich. Die Umrechnung zwischen den beiden Strukturen ist mit den angegebenen Formeln m√∂glich.

Bild:PIDstruktur.gif

Vergleich der Reglertypen

In der folgenden Abbildung ist der Vergleich von P-, I-, PI-, PD- und PID-Regler in einem Regelkreis mit PT2-Glied als Regelstrecke dargestellt. Es ist deutlich zu sehen, dass die Regler ohne I-Anteil (P und PD) eine bleibende Regelabweichung aufweisen. Erst die Regler mit I-Anteil können auf den Endwert von 1 ausregeln. Beim reinen I-Regler geht das so langsam, dass es gar nicht mehr auf dem Diagramm zu sehen ist. Der Hauptzweck eines I-Anteils ist also die Vermeidung bleibender Regelabweichungen. Daher ist ein I-Anteil normalerweise nicht nötig, wenn die Strecke schon einen I-Anteil besitzt. Ausnahme: Es wird ein doppelter I-Anteil zur Vermeidung von Schleppfehlern benötigt.

Die schnellsten Regler sind die mit einem D-Anteil (PD und PID). Der D-Anteil kommt deshalb haupts√§chlich zum Einsatz, wenn schnelle Dynamik gefragt ist oder die Strecke selbst schon instabil ist. Voraussetzung f√ľr die Schnelligkeit ist allerdings, dass keine Begrenzung im Stellglied oder Aktuator auftritt. In der Praxis ist eine Begrenzung meistens nicht zu vermeiden, deshalb gilt die Sprungantwort in der Praxis nur f√ľr kleine Spr√ľnge.

Die Regler ohne D-Anteil, aber mit P-Anteil (P und PI) sind mittelschnell. F√ľr einfache Regelaufgaben reicht auch oft schon ein reiner P-Regler aus, wenn die bleibende Regelabweichung vernachl√§ssigt werden kann oder weil die Strecke schon einen I-Anteil besitzt.

vergleich.gif

Aus diesem Vergleich wird klar, warum der PID-Regler so beliebt ist, er vereinigt die Vorz√ľge aller anderen Regler.

Digitaler Regler

Durch die Einf√ľhrung leistungsf√§higer und preiswerter Mikroprozessoren hat sich der digitale Regler mehr und mehr durchgesetzt. Im Gegensatz zum analogen Regler werden die Signale nicht mehr analog mit Operationsverst√§rker verarbeitet, sondern mit einem Mikroprozessor errechnet. Bevor das Signal vom Mikroprozessor bearbeitet werden kann, muss zun√§chst das Eingangssignal (Istwert) mit einem Analog-Digital-Umsetzer (ADU) digitalisiert werden, d.h. in einen Zahlenwert umgewandelt werden. Das vom digitalen Regler errechnete Ausgangssignal (Stellgr√∂√üe) wird wiederum zur Ansteuerung des Stellglieds mit einem Digital-Analog-Umsetzer (DAU) in ein analoges Signal gewandelt. Funktionell unterscheiden sich analoger und digitaler Regler jedoch nicht wesentlich, es m√ľssen nur die Schnittstellen angepasst werden.

digreg.gif

Da die Wandlungen und das Regelprogramm eine gewisse Zeit beanspruchen, vergeht pro Durchlauf die sogenannte Takt- oder Abtastzeit. Diese Zeit wirkt sich im Regelkreis wie ein Totzeitglied mit der halben Abtastzeit als Totzeit aus. Das verursacht eine zus√§tzliche Phasenverschiebung, was sich ung√ľnstig auf die Stabilit√§t des Regelkreises auswirken kann. Ist die Abtastzeit sehr viel kleiner als die dominierende Zeitkonstante der Strecke, dann spricht man von quasi-kontinuierlichem Verhalten, da sich der digitale Regler √§hnlich wie ein analoger Regler verh√§lt. Der digitale Regler kann dann wie ein analoger dimensioniert werden. Ist die Abtastzeit gr√∂√üer, kann sie nicht mehr vernachl√§ssigt werden, dann muss sie auch beim Reglerentwurf ber√ľcksichtigt werden.

Vorteile digitaler Regler:

  • Die Verarbeitung erfolgt driftfrei.
  • Es lassen sich nichtlineare Kennlinien, intelligentes Verhalten oder adaptive Regelung leichter realisieren.
  • Der Regler kann bei Bedarf per Software neu konfiguriert und parametriert werden


Digitale Realisierung am Beispiel des PID-Algorithmus

Ausgehend von der Differentialgleichung f√ľr kontinuierliche Systeme wird die Differenzengleichung f√ľr zeitdiskrete Systeme erstellt. Daraus folgt dann der Stellungsalgorithmus in allgemeiner Form.

Ta = Abtastzeit; k = Nummer der Abtastung

Kp = Proportionalbeiwert; Ki = Integrierbeiwert; Kd = Differenzierbeiwert


Differentialgleichung f√ľr den kontinuierlichen PID-Regler:

y(t) \;=\;  Kp \!\cdot\! e(t)            + Ki \int_0^t e(\tau) \, d\tau            + Kd \, \frac{de(t)}{dt}

Differenzengleichung f√ľr den zeitdiskreten PID-Regler:

y_k \;=\;  Kp \!\cdot\! e_k           + Ki \!\cdot\! Ta \sum_{i=0}^k e_i           + \frac{Kd}{Ta}\, ( e_k - e_{k-1} )

PID Stellungs-Algorithmus:

y_k \;=\;  y_{k-1}            + q_0 \!\cdot\! e_k           + q_1 \!\cdot\! e_{k-1}           + q_2 \!\cdot\! e_{k-2}

Mit den Parametern:

q_0 \,=\, Kp + Ki \!\cdot\! Ta + \frac{Kd}{Ta}      \, , \quad q_1 \,=\, -Kp  - 2 \, \frac{Kd}{Ta}      \, , \quad q_2 \,=\, \frac{Kd}{Ta}


Umsetzung in Code nach der Differenzengleichung:

Im Code wurden einige Variablen umbenannt, da die Indexschreibweise nicht möglich ist.

y entspricht yk, e entspricht ek, ealt entspricht ek-1, esum ist die Summenbildung

In der Praxis wird man die Ausdr√ľcke Ki*Ta und Kd/Ta vorab berechnen und mit Ersatzvariablen in die Reglergleichung einsetzen. Der Verst√§ndlichkeit halber wurde es hier im Code belassen. Des weiteren kann eine Begrenzung von esum notwendig werden, um einen Variablen√ľberlauf oder Windup-Effekt zu vermeiden.

Der nachfolgende Code wird im Rhythmus der Abtastzeit Ta immer wieder aufgerufen.

e = w - x;					//Vergleich
esum = esum + e;				//Integration I-Anteil
y = Kp*e + Ki*Ta*esum + Kd/Ta*(e ‚Äď ealt);	//Reglergleichung
ealt = e;

Alternative Umsetzung in Code nach dem Stellungsalgorithmus:
y entspricht yk, yalt entspricht yk-1, e entspricht ek, ealt entspricht ek-1, ealt2 entspricht ek-2

e = w - x;					//Vergleich
y = yalt + q0*e + q1*ealt + q2*ealt2;		//Reglergleichung
ealt2 = ealt;
ealt = e;
yalt = y;

Dimensionierung des Reglers

Die Auswahl des Reglertyps ist heutzutage bei den digitalen Reglern nicht mehr so kritisch, da der Mehraufwand in Software f√ľr einen PID-Regler gegen√ľber einfacheren Typen kaum zu Buche schl√§gt. Im Prinzip ist man deshalb mit einem PID-Regler fast immer auf der richtigen Seite, mit einer Ausnahme, bei einer Strecke mit reiner Totzeit. Die folgende Tabelle gibt eine Hilfestellung zur Auswahl des Reglers.

Geeignete Reglertypen f√ľr die unterschiedlichen Regelstrecken
Strecke
Regler
P
PD
PI
PID
reine Totzeit    
geeignet
 
1.Ordnung mit kleiner Totzeit     gut geeignet gut geeignet
2.Ordnung mit kleiner Totzeit       gut geeignet
h√∂here Ordnung       gut geeignet
I-Glied und Verzögerung geeignet gut geeignet
geeignet
gut geeignet

Nachdem man einen geeigneten Reglertyp ausgewählt hat, stellt sich noch die Frage, wie man die Reglerparameter Kp, Ki, und Kd optimiert. Im Laufe der Zeit wurden viele Methoden zur Dimensionierung der Reglerparameter entwickelt, aber es können hier nicht alle aufgelistet werden. Diese Aufzählung beschränkt sich auf die einfacheren und gängigen Methoden der Parametrierung.

Dimensionierung durch Probieren (Empirisches Einstellen)

Methode 1

Diese Methode ist geeignet um einfache Systeme zu dimensionieren, insbesondere wenn man bereits Erfahrung mit √§hnlichen Regelkreisen hat. Man f√§ngt mit einer unkritischen Einstellung (Kp klein, Ki = 0, Kd = 0) an und erh√∂ht langsam die Verst√§rkung Kp, bis die D√§mpfung schlecht wird. Falls eine Schwingneigung auftritt, muss die Verst√§rkung wieder etwas zur√ľck genommen werden. Dann nimmt man allm√§hlich den Integralanteil hinzu, erh√∂ht ihn in Schritten und probiert solange herum, bis das Ergebnis einigerma√üen passt. Bei Bedarf kann noch ein D-Anteil (PID-Struktur) probiert werden. Wenn dabei die Regelung stabiler wird, kann noch mal Kp und Ki erh√∂ht werden, bis man endg√ľltig zufrieden ist.

Methode 2

Alle Anteile erstmal auf 0. Dann erhöht man Kp so lange bis das System deutlich schwingt. Danach wird der Kd so lange erhöht bis das System nicht mehr schwingt. Anschliessend kann noch ein kleiner Ki Anteil hinzugegeben werden.


Es d√ľrfte klar sein, dass so eine Optimierung im Blindflug nicht immer das Optimum ergibt, aber es ist eine g√§ngige praktische Methode zur Ermittlung der Reglerparameter. Besser sieht es aus, wenn in einer Simulation empirisch optimiert wird. Zus√§tzliche Informationen √ľber die Stabilit√§t erlauben hierbei eine gezieltere Optimierung. Zudem ist das Probieren im Simulator gefahrlos m√∂glich, was in der Realit√§t nicht immer der Fall ist. Geeignete Programme zur Simulation sind hier vorgestellt. Allerdings muss f√ľr eine Simulation die Regelstrecke bekannt sein. Ist das nicht der Fall, so bleibt nur das einfache Probieren oder das Einstellen nach der Schwingungsmethode wie im folgenden beschrieben.

Dimensionierung nach Einstellregeln

Die Dimensionierung nach Rezept ist eine praktische Methode ohne viel Rechnerei und Hilfsmittel, eine Methode also f√ľr den Praktiker. Die bekanntesten Einstellregeln sind von Ziegler/Nichols und von Chien/Hrones/Reswick. Dar√ľber hinaus gibt es noch eine Vielzahl anderer Einstelltabellen, auf die hier aber verzichtet wird, das w√ľrde den Rahmen dieses Artikels sprengen. An der Vielzahl kann man schon ersehen, dass es kein universell g√ľltiges Rezept gibt und mit diesen Tabellen nicht unbedingt das Optimum erreicht wird, eine Nachoptimierung kann n√∂tig sein.

Bei Ziegler/Nichols unterscheidet man noch zwischen der Schwingungsmethode und der Einstellung nach der Sprungantwort.

Einstellung nach der Schwingungsmethode:
Bei der Schwingungsmethode nach Ziegler/Nichols werden die Reglerparameter so verstellt, dass die Stabilit√§tsgrenze erreicht wird und der Regelkreis zu schwingen beginnt, d.h. die Regelgr√∂√üe periodische Schwingungen ausf√ľhrt. Aus der so gefundenen Einstellung k√∂nnen die Reglerparameter ermittelt werden. Dieses Verfahren ist nur auf Regelstrecken anwendbar, bei denen ein Schwingen keinen Schaden anrichtet und die √ľberhaupt instabil gemacht werden k√∂nnen. Die Vorgehensweise ist folgende:

  1. Einstellung des Reglers als reinen P-Regler: Ki = 0 und Kd = 0
  2. Die Reglerverst√§rkung Kp wird solange vergr√∂√üert, bis sich der geschlossene Regelkreis an der Stabilit√§tsgrenze befindet und Dauerschwingungen ausf√ľhrt.
  3. Der dabei eingestellte Wert Kp wird als Kpkrit bezeichnet.
  4. Die Periodendauer der sich einstellenden Dauerschwingung Tkrit wird gemessen.
  5. Anhand der folgenden Tabelle werden dann die Reglerparameter bestimmt.
Regler
Kp
Tn
Tv
P
0.5*Kpkrit    
PI
0.45*Kpkrit
0.85*Tkrit
 
PID
0.6*Kpkrit 0.5*Tkrit 0.12*Tkrit
Ki = Kp/Tn
Kd = Kp*Tv

Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, dass die Untersuchung w√§hrend des Betriebes und ohne √Ėffnen des Regelkreises durchgef√ľhrt werden kann. Der Nachteil an dem Verfahren ist, dass es nur auf Strecken angewendet werden kann, die auch zum Schwingen gebracht werden k√∂nnen.

Einstellung nach der Sprungantwort:
Diese Methode der Parameterbestimmung beruht auf der Aufnahme der Sprungantwort der Regelstrecke. Es eignet sich auch f√ľr Strecken, die nicht zum Schwingen gebracht werden k√∂nnen. Der Regelkreis muss allerdings ge√∂ffnet werden. Vorgehensweise: Es wird die Sprungantwort aufgenommen und durch Einzeichnen der Wendetangente die Verzugszeit Tu und die Ausgleichszeit Tg ermittelt.

Bild:Tu_Tg.gif

Mit den so festgestellten Werten werden die Parameter f√ľr den einzusetzenden Regler gem√§√ü nachstehenden Tabellen ermittelt.

Einstellregeln nach Ziegler/Nichols:
Regler
Kp
Tn
Tv
P
1/Ks*Tg/Tu    
PI
0.9/Ks*Tg/Tu 3.3*Tu  
PID
1.2/Ks*Tg/Tu 2*Tu 0.5*Tu
Einstellregeln nach Chien/Hrones/Reswick
Regler
Kp
Tn
Tv
P
0.3/Ks*Tg/Tu    
PI
0.35/Ks*Tg/Tu 1.2*Tg  
PID
0.6/Ks*Tg/Tu
Tg
0.5*Tu
Ki = Kp/Tn
Kd = Kp*Tv
Die Parameter Tn und Tv sind aus der analogen Regelungstechnik und sind dort sehr geläufig. Die Umrechnung in die Parameter Ki und Kd erfolgt mit nebenstehenden Formeln. Siehe auch PID-Regler

Dimensionierung mit dem Bodediagramm

Ein Bode-Diagramm ist die grafische Darstellung des Frequenzganges. Es werden der Betrag der √úbertragungsfunktion (Amplitudengang) und der Verlauf des Phasenwinkels (Phasengang) als Funktion der Frequenz aufgetragen. Die Frequenzachse und die Amplitudenachse werden logarithmisch dargestellt. Die logarithmische Darstellung hat den Vorteil, dass eine Multiplikation auf eine einfache Addition zur√ľckgef√ľhrt wird. Somit wird eine Hintereinanderschaltung von Systemen im Blockschaltbild zu einer einfachen Addition im Bodediagramm.

Das Zeitverhalten des r√ľckgekoppelten Regelkreises h√§ngt entscheidend vom Verlauf des Frequenzganges der offenen Regelschleife in der Umgebung des Durchtretens durch die 0dB-Achse ab. In der Regelungstechnik wird daher der offene Regelkreis im Bode-Diagramm aufgetragen. Das erlaubt einen schnellen √úberblick √ľber Stabilit√§t und m√∂glichen Reserven zur Optimierung. Ein Kriterium f√ľr die Stabilit√§t der Schleife ist der Phasenrand und der Amplitudenrand. Der Phasenrand ist der Abstand (Phasenreserve) zur -180¬į-Linie bei der Durchtrittsfrequenz. Die Durchtrittsfrequenz ist diejenige Frequenz, bei der der Amplitudengang durch die 0dB-Linie geht. Siehe auch folgendes Bode-Diagramm.

Bild:Phasenrand.gif

Regel: Eine geschlossene Regelschleife arbeitet genau dann stabil, wenn der Phasenrand positiv ist.

Wird diese Bedingung verletzt, so wird in diesem Frequenzbereich die im R√ľckf√ľhrzweig der Regelung eingebrachte Gegenkopplung zu einer Mitkopplung und das System kann schwingen.

Beim Reglerentwurf sind folgende Punkte zu beachten:

  • Der Phasenrand muss positiv sein. Der geschlossene Regelkreis kann sonst instabil sein.
  • Je gr√∂√üer der Phasenrand ist, desto gr√∂√üer ist die Stabilit√§tsreserve des Regelkreises und desto h√∂her ist die D√§mpfung des Regelkreises. √úblich sind Werte von 40¬į...70¬į f√ľr gutes F√ľhrungsverhalten und 20¬į...50¬į f√ľr gutes St√∂rverhalten.
  • Die Durchtrittsfrequenz ist ein Ma√ü f√ľr die Schnelligkeit des Regelkreises, je h√∂her, desto schneller ist die Reaktion auf √Ąnderungen der F√ľhrungsgr√∂√üe oder St√∂rungen.


Hier ein Beispiel zur Dimensionierung mit dem Bode-Diagramm.

Bild:Bode1.gif

Die Strecke ist rot dargestellt und besteht in dem Beispiel aus einem nicht schwingf√§higem PT2-Glied. Man sucht sich den Punkt, wo die Strecke f√ľr sich alleine noch ausreichend Phasenreserve hat, z.B. 70¬į. In dem Beispiel also die Frequenz, bei der die Strecke -110¬į Phasendrehung aufweist. Das ist etwa bei 15Hz. Da hat die Strecke ungef√§hr eine D√§mpfung von 25dB. Wenn man nun diese D√§mpfung durch eine Verst√§rkung von 25dB kompensiert, dann wird dieser Punkt zur Durchtrittsfrequenz. D.h. man w√§hlt den P-Anteil des Reglers Kp=18, denn 25dB entspricht ungef√§hr dem Faktor 18. Um die Regelabweichung zu minimieren, wird noch ein I-Anteil hinzugef√ľgt. √úblicherweise w√§hlt man f√ľr die Grenzfrequenz des PI-Reglers die Grenzfrequenz des dominierenden Streckenteils, in dem Beispiel ca. 1.4Hz. Damit ergibt sich ein I-Anteil von 170. Im Bode-Diagramm ist der PI-Regler als schwarze Kurve eingezeichnet. Die Addition der Strecke und des Reglers im Bode-Diagramm f√ľhrt dann zum Frequenzgang des offenen Regelkreises (blaue Kurve). Die resultierende Durchtrittsfrequenz ist wie gew√§hlt bei etwa 15Hz. Der Phasenrand hat sich durch den I-Anteil im Regler auf ca. 60¬į reduziert, ist aber noch ausreichend. Das Einschwingen des geschlossenen Regelkreises f√ľr diese Dimensionierung sieht dann folgenderma√üen aus:

Bild:Sprungantwort3.gif

Bei Bedarf k√∂nnte noch ein D-Anteil (PID-Regler) hinzugenommen werden, das w√ľrde die Phase anheben und man k√∂nnte dadurch die Durchtrittsfrequenz weiter nach oben schieben. In der Praxis wird dies allerdings wegen der wahrscheinlichen Begrenzung des Stellglieds kein schnelleres Einschwingen mehr bringen.

Begrenzungen oder Nichtlinearit√§ten werden bei der Dimensionierung mit dem Bode-Diagramm nicht ber√ľcksichtigt. Das ist ein Nachteil dieser Methode. Eventuell muss deshalb noch einmal im Zeitbereich nachoptimiert werden.

Dimensionierung mit der Ortskurve

Eine Alternative zur Dimensionierung mit dem Bodediagramm stellt die Methode √ľber die Ortskurve des offenen Regelkreises dar.

Bei diesem Verfahren ist schnell auf einem Blick ersichtlich ob der Regelkreis stabil ist.

Liegt der Punkt -1 auf der Realteilachse links von der Ortskurve in Richtung steigendem Omega so ist der Regelkreis stabil. Der Abstand zu der kritischen Kreisfrequenz Omega Krit von der Imaginärteilachse ist die Verstärkung Vr mit diesem Wert lässt sich der Amplitudenrand ermitteln. Dazu wird folgende Formel verwendet: Ar = 20 lg (1/Vr) in dB

Die Durchtrittskreisfrequenz Omega D ist an dem Punkt, wo der Betrag aus Realteil und Imagin√§rteil 1 ergibt. Wenn man wei√ü, wo die Durchtrittskreisfrequenz ist, dann kann man den Phasenrand bestimmen. Dies ist der Winkel zwischen der -180¬į Linie zu Omega D.

Bild:Ortskurve.jpg

Hilfsprogramme zur Analyse und Optimierung

Die Analyse und Optimierung von Regelkreisen wird wesentlich erleichtert durch die Zuhilfenahme von Programmen. Es erspart einem eine komplizierte Rechnerei von Hand oder umfangreiche Testl√§ufe. Stellvertretend f√ľr all die verf√ľgbaren Programme werden hier zwei Freeware-Programme vorgestellt, die daf√ľr gut geeignet sind. Die Beschreibung hier ersetzt aber keine Tutorials, es wird nur die Anwendung f√ľr die Regelungstechnik beschrieben.

Scilab/Scicos

Scilab ist ein wissenschaftlich-technisches Softwarepaket f√ľr numerische Berechnungen. Scicos ist eine Erweiterung dazu, die eine blockorientierte und modellbasierte Simulation und Analyse von dynamischen Systemen bietet. Dieses Softwarepaket kann von der Scilab Homepage herunter geladen werden.

Scilab

Mit Scilab ist es sehr einfach ein Bode-Diagramm zu zeichnen, es bedarf nur 3 Zeilen Code.

s=poly(0,'s');
G=syslin('c',0.72/(0.11*s+1));
bode(G)

Die 1.Zeile s=poly(0,'s'); legt die Variable s als Polynomvariable fest. Dies braucht in einer Sitzung nur einmal gemacht zu werden. Die 2.Zeile G=syslin('c',0.72/(0.11*s+1)); definiert ein lineares System mit der √úbertragungsfunktion 0.72/(0.11s+1). Die 3.Zeile bode(G) zeichnet das Bode-Diagramm des zuvor mit syslin definierten Systems G. Zu beachten ist, dass Scilab auf der x-Achse im Bode-Diagramm die Frequenz in Hertz und nicht wie √ľblich die Kreisfrequenz darstellt. Anstelle des Bode-Diagramms kann auch die Sprungantwort gezeichnet werden. Dies geschieht mit folgenden Befehlen:

xbasc();
t=[0:0.001:2];
y=csim('step',t,G);
plot2d(t,y)

xbasc() l√∂scht den letzten Plot mit dem Bode-Diagramm und mit t=[0:0.001:2] wird ein Vektor t mit den angegebenen Zeiten im Intervall von 1ms definiert. Die Zeile y=csim('step',t,G) berechnet die Sprungantwort des zuvor mit syslin definierten Systems G und speichert sie in y ab. Das Ergebnis wird dann mit plot2d(t,y) dargestellt. Bei Bedarf k√∂nnen noch Gitternetzlinien mit dem Befehl xgrid() hinzugef√ľgt werden.

Ergänzend hier noch ein Scilab-Skript, welches recht hilfreich bei der Dimensionierung mit dem Bode-Diagramm ist. Den nachfolgenden Code einfach in das SciPad-Fenster (Editor von Scilab) kopieren und starten. Es werden 2 Grafikfenster angezeigt, eines mit dem Bode-Diagramm und ein zweites mit der Sprungantwort. Man kann im Skript die Streckencharakteristik anpassen und verschiedene Reglerparameter ausprobieren.

Ks=0.72;                            // Verstärkung der Strecke
T1=0.11;                            // Zeitkonstante 1
T2=0.005;                           // Zeitkonstante 2
Kp=18;                              // Proportionalbeiwert
Ki=170;                             // Integralbeiwert
Kd=0;                               // Differenzialbeiwert
 
s=poly(0,'s');                      // definiert s als Polynomvariable
P=(T1*s+1)*(T2*s+1);                // Streckencharakteristik
Gs=syslin('c',Ks,P)                 // √úbertragungsfunktion der Strecke

RZ=poly([Ki Kp Kd],'s','coeff')     // Zählerpolynom des Reglers
RN=poly([0 1],'s','coeff')          // Nennerpolynom des Reglers
Gr=syslin('c',RZ,RN)                // √úbertragungsfunktion des Reglers

G=Gr*Gs                             // √úbertragungsfunktion gesamt
xset("window",0);
xbasc(0);
bode([Gr;G;Gs],0.1,100,['Regler';'gesamt';'Strecke'])

Gcl=G/(G+1)                         // geschlossene Regelschleife
t=0:0.001:0.2;
y=csim('step',t,Gcl);               // berechnet Sprungantwort
xset("window",1);
xbasc(1);
plot2d(t,y,2);
xgrid();
xtitle("Sprungantwort","sec");


Scicos

Eine weitere Möglichkeit zur Simulation im Zeitbereich bietet Scicos. Die Modellierung geschieht mit einem grafischen Editor, in dem Blöcke mit vordefinierten oder selbstgemachten Funktionen miteinander verbunden werden. Ein einfaches Modell eines Regelkreises mit PID-Regler sieht folgendermaßen aus:

Bild:Scicos_anaReg.gif

Der PID-Regler ist mit seinen 3 Zweigen (P, I und D) dargestellt. In den Verst√§rkerbl√∂cken kann durch √Ąndern der Reglerparameter (KP, KI und KD) der Regler optimiert werden. Die Strecke ist in diesem Beispiel nur ein einzelner Block, in dem die √úbertragungsfunktion eingegeben wird. Man kann die Strecke auch detaillierter mit einzelnen Funktionsbl√∂cken darstellen. Ein Beispiel eines komplexen Blockschaltbilds f√ľr einen balancierenden Bot ist unter diesem Link zu finden.

Der Vorteil der Simulation mit Scicos ist die M√∂glichkeit Nichtlinearit√§ten zu ber√ľcksichtigen und die Kombination von kontinuierlichen und diskreten Funktionen. Das hei√üt, man kann einen digitalen Regler mit seinen diskreten Schritten und eine analoge Strecke, als kontinuierliche Funktion eingegeben, zusammen simulieren. Scicos bietet sogar einen 'Scifunc'-Block, mit dem Rechenschritte des digitalen Reglers nachgebildet werden k√∂nnen. Damit wird sowohl das dynamische Verhalten, verursacht durch die Abtastzeit Ta, als auch die etwas unterschiedliche Dynamik durch die digitale Ausf√ľhrung eines I- und D-Anteils richtig simuliert. Ein Beispiel f√ľr den Einsatz des Scifunc-Blocks ist in folgendem Blockschaltbild zu sehen.

Bild:Scicos_digReg.png

Beispiel: Drehzahlregelung mit digitalem Regler

Die globalen Variablen f√ľr die Reglerparameter und die Abtastzeit werden unter dem Men√ľpunkt ‚ÄěEdit - Context‚Äú abgelegt.

Kp=18;
Ki=60;
Ta=0.01;

In den Taktgeber f√ľr den digitalen Regler wird als Clock-Periode die Abtastzeit Ta eingetragen. In das Dialogfenster zum Scifunc-Block wird folgender Code zur Simulation des digitalen PI-Reglers eingetragen:

z=z+Ki*Ta*u1
if z>5 then
z=5;
end
y1=Kp*u1+z
if y1>5 then
y1=5;
end

z entspricht der Variable esum vom Beispiel des digitalen Drehzahlreglers; u1 ist die Eingangsvariable und y1 die Ausgangsvariable des Scifunc-Blocks. In den Block f√ľr die Strecke wird die √úbertragungsfunktion eingetragen. Als Z√§hler die Verst√§rkung Ks, also 0.72. Im Nenner das Polynom (1+0.11*s) f√ľr die Charakteristik der Strecke. Mit ‚ÄöSimulate ‚Äď Run‚Äô wird die Simulation gestartet. Als Ergebnis sollte das Einschwingen der Stellgr√∂√üe (schwarz) und der Regelgr√∂√üe (gr√ľn), wie in folgender Abbildung erscheinen.

Bild:Sprungantwort_DZR.png

Man kann nun mit den Reglerparametern und verschiedenen Abtastzeiten spielen, um zu sehen wie sich die √Ąnderungen auswirken. Zum Beispiel wird bei einer Verdopplung der Abtastzeit der Regelkreis bereits instabil.

Diese Beispiele sind nur ein kurzer Auszug von den M√∂glichkeiten mit Scilab/Scicos f√ľr den Einsatz in der Regelungstechnik. Dar√ľber hinaus ist es auch sehr gut geeignet bei anderen Optimierungsverfahren wie z.B. beim WOK-Verfahren (Wurzelortskurven) oder zur Analyse und Optimierung von modernen Reglern wie z.B. Zustandsregler und Kalmanfilter.

LTspice/SwitcherCad III

Dieses Programm ist ein SPICE-Derivat von der Firma Linear Technology und ist unter den 2 Namen LTspice und SwitcherCad III bekannt. Der Einfachheit halber wird f√ľr die weitere Beschreibung hier nur der Name LTspice verwendet. Das Programm ist Freeware und kann unter diesem Link herunter geladen werden. http://ltspice.linear.com/software/LTspiceIV.exe

LTspice ist ein Simulationsprogramm zur Analyse von elektronischen Schaltungen. Mit LTspice kann sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich analysiert werden und bietet sich dadurch mit den entsprechenden Modellen auch f√ľr den Einsatz in der Regelungstechnik an. Wer sich bereits mit SPICE-Programmen auskennt, f√ľr den sollte es auch in der Regelungstechnik die 1.Wahl sein.

Der Vorteil von LTspice ist die M√∂glichkeit einer sehr detaillierten Analyse, vorausgesetzt die Modelle sind auch so detailliert nachgebildet. Insbesondere f√ľr analoge Regler, wo die elektrische Schaltung direkt umgesetzt werden kann, empfiehlt sich der Einsatz von LTspice. Der Nachteil ist, LTspice ist nicht auf regeltechnische Belange ausgelegt worden und spezifische Symbole f√ľr die Regelungstechnik m√ľssen selbst erstellt werden. Einige selbst erstellte Symbole f√ľr dynamische Grundelemente in LTspice sind hier abgebildet.

Bild:LTSpiceSymb.png

Die 3 Symbole können hier heruntergeladen werden. Weitere Symbole können anhand dieser Beispiele sehr leicht selbst erstellt werden. Ein P-Glied kann durch eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle (E-Source) oder Operationsverstärker mit einstellbarer Verstärkung dargestellt werden.

Analyse im Zeitbereich

Das Beispiel des Drehzahlreglers mit analogem Regler wird hier mit LTspice simuliert. Das Schaltbild des Regelkreises zeigt nachfolgende Abbildung.

Bild:LTspice_TRAN.png

Der Vergleicher (U1) und der analoge PI-Regler (U2) sind so dargestellt, wie es auch in Wirklichkeit ausgef√ľhrt werden kann. Da der PI-Regler in der Schaltung bereits invertiert, wurden die Eing√§nge am Vergleicher vertauscht, damit die Polarit√§t wieder stimmt. Der Rest des Regelkreises wurde stark vereinfacht, kann aber nach Bedarf auch ausf√ľhrlicher dargestellt werden. Das PT1-Glied U3 simuliert die Strecke des Regelkreises und der Verst√§rker U4 dient nur zur Umrechnung auf die Drehzahl. Zur Simulation im Zeitbereich wird auf den F√ľhrungswert w mit der Spannungsquelle V1 ein Sprung gegeben. In der Reglerschaltung wurde bewusst ein Operationsverst√§rker mit Versorgungsspannung gew√§hlt, damit auch der Einfluss einer Begrenzung mit simuliert wird. Die Zeitbereichsanalyse wird durch den LTspicebefehl .TRAN erreicht. Die Sprungantwort (Tachospannung) bei diesem Regelkreis sieht dann folgenderma√üen aus.

Bild:Tacho2.png

Durch √Ąndern der Bauelemente R5, R6 und C1 kann man den Regler optimieren. Eine Umrechnung auf die Reglerparameter Kp und Ki ist mit folgenden Formeln m√∂glich, siehe auch PI-Regler:

Kp = R6/R5

Ki = 1/(R5*C1)

Mit einem Mausklick auf den entsprechenden Knoten in der Schaltung können noch weitere Signale, wie z.B. die Stellgröße y angezeigt werden. Durch Verändern der Versorgungsspannung V3, V4 kann man sich auch die Auswirkung der Begrenzung ansehen.

Analyse im Frequenzbereich

F√ľr die Darstellung des Bode-Diagramms der offenen Regelschleife in LTspice muss ein Trick angewendet werden, denn durch das Auftrennen der Regelschleife w√ľrde der Arbeitspunkt verloren gehen und dadurch die offene Schleife ohne Gegenkopplung an den Anschlag fahren.

Mit einer zus√§tzlichen Spannungsquelle in der Schleife kann man dieses Problem umgehen. Die Schleife bleibt f√ľr den Erhalt des Arbeitspunktes weiterhin geschlossen und man kann trotzdem die Verst√§rkung der offenen Schleife durch das Verh√§ltnis der Spannung vor und hinter der Spannungsquelle bestimmen. Das erweiterte Blockschaltbild sieht folgenderma√üen aus.

Bild:LTspice_AC.png

V2 ist die zus√§tzliche Spannungsquelle f√ľr die AC-Analyse. Die Spannungsquelle V1 wird von Pulsform auf Gleichspannung umgestellt. Sie wird so gew√§hlt, dass sich der gew√ľnschte Arbeitspunkt einstellt. Durch den LTspicebefehl .AC wird die Analyse im Frequenzbereich veranlasst. Um das Bode-Diagramm des offenen Regelkreises darzustellen, wird als Kurve nicht ein einzelner Knoten ausgew√§hlt, sondern das Verh√§ltnis der Spannung vom Ende zum Anfang des Regelkreises, in unserem Beispiel also V(tacho)/V(x). Zur Anzeige kommt dann das Bode-Diagramm (gr√ľne Kurve) der offenen Schleife, wie in der folgenden Abbildung zu sehen. F√ľr den Amplitudengang (durchgezogene Linien) gilt die linke Skala in dB, f√ľr den Phasengang (gestrichelte Linien) die rechte Skala in Grad.

Bild:LTspice_Bode.png

Zus√§tzlich ist noch das Bode-Diagramm der Strecke (rote Kurve) zu sehen. Dies ist durch einfaches Hinzuf√ľgen einer weiteren Kurve mit dem Ausdruck V(tacho)/V(y) durchgef√ľhrt worden.

Im Gegensatz zur √ľblichen Darstellung des Bode-Diagramms eines offenen Regelkreises, beinhaltet das mit LTspice erstellte Bode-Diagramm auch die -180 Grad Phasendrehung der Gegenkopplung. Der Phasenrand ist deshalb nicht auf -180 Grad sondern auf 0 Grad zu beziehen. In unserem Beispiel ist der Phasenrand etwa 90 Grad, also ein sehr stabiler Regelkreis. Zu beachten ist, dass die Frequenzachse des Bode-Diagramms wie auch schon bei Scilab in der Einheit Hertz anstatt wie √ľblich in der Kreisfrequenzeinheit rad/s dargestellt ist.

Modellierung eines Motors/Antriebs

Ersatzschaltbild DC-Motor
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Ersatzschaltbild DC-Motor

Der Motor ist ein oft verwendeter Aktuator in der Robotik. Deshalb wird hier am Beispiel des Gleichstrommotors mit Permanentmagnet (Nebenschlussmotor) die Modellbildung gezeigt. Zur Modellierung gibt es mehrere Möglichkeiten. Je nachdem wie detailliert die Simulation sein soll, kann man sich ein Modell, von sehr einfach bis sehr detailliert, auswählen. Zwei Zeitkonstanten bestimmen die Dynamik eines Gleichstrommotors. Eine davon ist die mechanische Zeitkonstante, die ist meistens die dominierende Zeitkonstante und wird durch das Trägheitsmoment J des Rotors verursacht. Die zweite Zeitkonstante ist die elektrische Zeitkonstante, sie wird durch die Induktivität L bestimmt. Bei einfachen Regelungen kann in den meisten Fällen die elektrische Zeitkonstante vernachlässigt werden, damit reduziert sich das Modell auf ein einzelnes PT1-Glied.

Definition: Motor und Antrieb

Als Motor wird hier der Motor alleine verstanden. Die Ausgangsgröße ist die Winkelgeschwindigkeit w (Drehzahl).

Als Antrieb wird hier der komplette Antrieb eines Fahrzeugs verstanden, also Motor inklusive Getriebe und Masse des Fahrzeugs. F√ľr die Dynamik ist nicht nur das Tr√§gheitsmoment des Motors sondern auch die Masse des Fahrzeugs verantwortlich. Die Ausgangsgr√∂√üe der Einheit ‚ÄěAntrieb‚Äú ist die Geschwindigkeit v.

Die hier vorgestellten Modelle gelten sowohl f√ľr einen Motor als auch f√ľr einen kompletten Antrieb, wenn man die Elastizit√§t und das Spiel des Getriebes vernachl√§ssigt.

Einfaches Modell mit PT1-Glied

Die einfachste Art einen Motor oder Antrieb zu simulieren, ist mit einem PT1-Glied als Modell. Das Simulationsprogramm Scicos bietet dazu einen Block zur Eingabe der Übertragungsfunktion (num(s)=Zähler, den(s)=Nenner der Übertragungsfunktion).

√úbertragungsfunktion:


G(s)=\frac{K}{1+Ts}

Beispiel:
num(s) = K = 0.72
den(s) = 1 + Ts = 1 + 0.11s
Bild:Scicos_TF.png

Wird nicht nur das Ausgangssignal, also die Geschwindigkeit oder Drehzahl in der Simulation benötigt, sondern auch die Beschleunigung, dann kann nachfolgendes Modell verwendet werden. Dieses Modell ist der Differentialgleichung eines PT1-Glieds nachempfunden und liefert das gleiche Ergebnis wie vorheriges Modell, bietet aber noch den Zugriff auf das Beschleunigungssignal.

Differentialgleichung:


v'=\frac{K}{T}U-\frac{1}{T}v

v = Geschwindigkeit
v’= Beschleunigung (Ableitung von v)
K = Übertragungsmaß
T = Zeitkonstante
U = Eingangsgröße (z.B. Spannung)
Einfaches Modell eines Antriebs
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Einfaches Modell eines Antriebs

Die beiden Parameter K und T m√ľssen ausgemessen werden, wenn sie nicht bekannt sind. Die Zeitkonstante T kann in einem Anlaufversuch ermittelt werden. Dazu wird auf den Motor ein Spannungssprung gegeben und die Sprungantwort am Ausgang nachgemessen. Bei einem Antrieb erspart diese Methode die aufw√§ndige Ermittlung der elektrischen und mechanischen Daten der einzelnen Elemente (Motor, Getriebe, Fahrzeug). Bei der Ermittlung des √úbertragungsma√ü K ist zu beachten, dass sich m√∂glicherweise der Motor durch starke Reibung erst ab einer bestimmten Spannung dreht. Hier ist die Steigung der Kennlinie mit delta v / delta U auszuwerten, wie im folgenden Bild zu sehen ist.

Bild:Antrieb_stat.png

Die einfachen Modelle gelten nur f√ľr den linearen Teil der Kennlinie. Soll auch die Nichtlinearit√§t durch Reibung modelliert werden, dann sind detailliertere Modelle, wie im Folgenden beschrieben, zu verwenden. Die Auswirkung einer Haftreibung ist auch in dem Geschwindigkeitsdiagramm durch die Hysterese in der Kennlinie zu sehen. Beim Hochfahren der Ansteuerspannung bewegt sich das Fahrzeug erst ab ca. 1.25V, w√§hrend beim Herunterfahren der Ansteuerspannung das Fahrzeug noch bis 0.75V rollt und erst unter 0.75V stehen bleibt.

Detailliertes Modell

Detailliertes Motormodell
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Detailliertes Motormodell

Ein detailliertes Motormodell ist rechts in dem Bild zu sehen. Es hat auf der linken Seite den elektrischen Teil mit den Parametern R (Widerstand) und L (Induktivit√§t) und auf der rechten Seite den mechanischen Teil mit den Bl√∂cken Tr√§gheitsmoment und Reibung. Der elektrische Teil liefert das Stromsignal i, welches mit der Motorkonstante Km in das Drehmoment M umgerechnet wird. Mit dem folgenden Summierglied kann √ľber einen zus√§tzlichen Eingang auch ein extern angreifendes Lastmoment mit simuliert werden. Am Ausgang des mechanischen Teils steht die Winkelgeschwindigkeit w in der Einheit [rad/s] bzw. √ľber den Umrechnungsfaktor 9.55 die Drehzahl in [Upm] zur Verf√ľgung. Die Reibung wird in einem nichtlinearen Block mittels Lookup-Table simuliert. In der einschl√§gigen Literatur wird die Reibung meistens mit einem D√§mpfungsfaktor (linear) simuliert, was einer viskosen Reibung entspricht. Das passt aber nicht so gut f√ľr Kleinmotoren, da √ľberwiegt vor allem die trockene Reibung. Die trockene Reibung hat ein konstantes Bremsmoment wenn sich der Motor dreht (unabh√§ngig von Drehzahl, Vorzeichen abh√§ngig von Drehrichtung). So eine Funktion kann sehr einfach mit einer Lookup-Table realisiert werden. Die Lookup-Table kann auch dazu verwendet werden, Mischformen von trockener, viskoser und turbulenter Reibung und sogar noch Haftreibung in einem Block zu simulieren, wenn man will.

Bei einigen Herstellern, wie z.B. Faulhaber und Maxon, kann man die f√ľr das Modell n√∂tigen Parameter im Datenblatt finden. Das Bremsmoment der Reibung berechnet sich aus dem Leerlaufstrom wie folgt: Bremsmoment = Motorkonstante * Leerlaufstrom

Falls die Daten nicht verf√ľgbar sind, muss man sie selbst ausmessen. Eine Hilfestellung zur Bestimmung der Motorkonstante und des Tr√§gheitsmoments gibt es hier:

Modell eines Antriebs
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Modell eines Antriebs

Das detaillierte Motormodell kann auch f√ľr einen Antrieb verwendet werden, wenn man eine starre Kopplung zwischen Motor und Antriebsrad voraussetzt, also Elastizit√§t und Spiel des Getriebes vernachl√§ssigt. Anstelle der rotatorischen Kenngr√∂√üen (Drehmoment M, Tr√§gheitsmoment J, Winkelgeschwindigkeit w) werden die translatorischen Kenngr√∂√üen (Kraft F, Masse m, Geschwindigkeit v) eingesetzt. Das Drehmoment wird mittels Getriebe√ľbersetzung √ľ und Radius r des Antriebsrades in die entsprechende Vortriebskraft umgerechnet. Daraus ergibt sich die Kraftkonstante Kf, die f√ľr das Antriebsmodell verwendet wird.

Die Umrechnung ist: Kf = Km * √ľ/r

Bei der Tr√§gheitsmasse m muss neben der Masse des Fahrzeugs auch das Tr√§gheitsmoment des Motors mit ber√ľcksichtigt werden. Die Umrechnung von Tr√§gheitsmoment in eine √§quivalente Masse = J * (√ľ/r)¬≤

Der Reibungsblock in diesem Modellbeispiel enth√§lt eine Mischform aus Haftreibung, trockener und viskoser Reibung, wie sie typisch f√ľr einen Kleinbot mit 2 Antriebsr√§dern und einem Gleitpin ist.

Beispiel: Drehzahlregelung

Es wird ein Gleichstrommotor in der Drehzahl geregelt. Als Sensor ist ein Tachogenerator vorhanden, der direkt auf der Motorwelle sitzt. Das System ist in einem kleinen Modellfahrzeug eingebaut und wird zur Geschwindigkeitsregelung eingesetzt, da die Drehzahl proportional zur Geschwindigkeit ist.

Das Funktionsschaltbild sieht folgendermaßen aus:

drehzahl1.gif

Als St√∂rgr√∂√üe k√∂nnen unterschiedliche Reibwerte oder Steigung und Gef√§lle r√ľckwirkend √ľber das Getriebe die Drehzahl beeinflussen. Das Getriebe und die Last sind zwar au√üerhalb der Regelschleife, beeinflussen aber durch die feste Kopplung des Getriebes die Dynamik des Regelkreises. Durch die starre Kopplung kann das Tr√§gheitsmoment des Motors und die Masse des Fahrzeugs zusammengefasst werden. Das Gleiche gilt auch f√ľr die Reibwerte. Damit vereinfacht sich die Modellierung und das Blockschaltbild reduziert sich auf folgende Schaltung:

drehzahl2.gif

Zur Ermittlung des dynamischen Verhaltens der Regelstrecke wird die Sprungantwort gemessen. Dazu wird auf den Eingang der Regelstrecke (Stellglied) ein Spannungssprung gegeben und die Antwort am Ausgang des Tachogenerators nachgemessen. Diese Methode erspart die aufwändige Ermittlung der elektrischen und mechanischen Daten der einzelnen Elemente der Regelstrecke (Motor, Getriebe, Fahrzeug). Die Messung ergab folgende Sprungantwort der Regelstrecke:

tacho.gif

Wie zu erwarten, ist die Sprungantwort ann√§hernd ein Verz√∂gerungsglied 1.Ordnung. Die abgelesene Zeitkonstante ist 0.11s. Die Verst√§rkung der Regelstrecke ist Ks = 0.72. Das √úbertragungsma√ü des Tachogenerators ist 1V pro 2480Upm. Damit kann auf die Drehzahl r√ľckgerechnet werden.

Da die Regelstrecke nur aus einem PT1-Glied besteht, k√∂nnte eine analoge Regelung fast beliebig schnell gemacht werden. Wegen der Begrenzung bringt aber das Ausreizen der Optimierung f√ľr das F√ľhrungsverhalten nicht viel, nur f√ľr das St√∂rverhalten w√§re eine schnellere Regelung sinnvoll. Um aber einen Vergleich zwischen analogem und digitalem Regler anstellen zu k√∂nnen wird eine Parametrierung gew√§hlt, die auch f√ľr den digitalen Regler mit seiner Totzeit noch stabil ist. Es wird deshalb auch auf einen D-Anteil im Regler verzichtet und nur ein PI-Regler realisiert. Das vereinfachte Blockschaltbild mit den dynamischen Elementen sieht damit folgenderma√üen aus:

drehzahl3.gif

Zur Veranschaulichung wurde ein analoger als auch ein digitaler Regler realisiert. Die Parametrierung des analogen Reglers wurde mit dem Programm LTspice durchgef√ľhrt. Es bot sich an, da die analoge Reglerschaltung exakt simuliert werden konnte. F√ľr die Optimierung des digitalen Reglers wurde dann Scicos verwendet.

Realisierung mit analogem Regler

Die elektrische Schaltung f√ľr einen analogen PI-Regler ist in der n√§chsten Abbildung zu sehen. Der erste Operationsverst√§rker vergleicht den Sollwert w mit dem Istwert x. Der zweite Operationsverst√§rker bildet den PI-Regler. Die Werte R5, R6 und C1 sind f√ľr die Charakteristik des PI-Reglers zust√§ndig. Mit R6 kann der P-Anteil und mit C1 der I-Anteil eingestellt werden. Die Optimierung der Werte wurde empirisch in einer Simulation mit LTspice durchgef√ľhrt. Da die Schaltung des PI-Reglers invertiert, wurden zum Ausgleich am Vergleicher die Eing√§nge an U1 vertauscht, so dass sich √ľber die gesamte Schaltung wieder die richtige Polarit√§t ergibt.

Bild:Analogregler.png

Zum Umrechnen auf Kp und Ki können diese Formeln verwendet werden, siehe auch PI-Regler:

Kp = R6/R5 = 18

Ki = 1/(R5*C1) = 147

Realisierung mit digitalem Regler

Im digitalen Regelkreis wird der Istwert x vom Tachogenerator mit einem A/D-Wandler digitalisiert. Der Sollwert w wird dem ¬ĶC als digitaler Wert √ľbergeben. Die Stellgr√∂√üe y entspricht dem PWM-Wert f√ľr den Motortreiber. Um zum analogen Regler vergleichbar zu sein, wurde sowohl f√ľr den A/D-Wandler als auch f√ľr den PWM-Steller eine 8-Bit-Breite vorgesehen. Damit ist die Verst√§rkung in beiden F√§llen gleich und analoger und digitaler Regler besser vergleichbar.

Eigentlich k√∂nnte man bei kleiner Abtastzeit direkt die Parametrierung des analogen Reglers f√ľr die digitale Realisierung √ľbernehmen. Aber es gibt doch kleine Unterschiede in der Dynamik zwischen analoger und digitaler Ausf√ľhrung und um sicher zu gehen, dass die gew√§hlte Abtastzeit einen nicht zu gro√üen Einfluss hat, wird noch einmal mit Scicos nachoptimiert. Mit einer Abtastzeit Ta = 10ms und den Parametern des analogen Reglers ergibt sich ein √úberschwingen, das nur sehr langsam auf den Endwert abklingt. Durch Verringern des I-Anteils auf 60 wird ein optimales Einschwingen f√ľr den digitalen Regler erreicht. Die Parameter sind:

Kp = 18

Ki = 60

Ta = 0.01

Zur Umsetzung in einen Code wurde die Programmiersprache C gew√§hlt. Da der Code sehr einfach ist, sollte es auch kein Problem sein, den Code als Beispiel f√ľr andere Sprachen zu verwenden. Der Algorithmus wird im Takt der Abtastzeit, also alle 10ms aufgerufen. In der Reglergleichung kann zur Vereinfachung das Produkt Ki*Ta durch eine Ersatzvariable, die gleich das Ergebnis aus dem Produkt 60*0.01 = 0.6 hat, ersetzt werden. Zum besseren Verst√§ndnis wurde es hier beim Ki*Ta belassen. Um einen Windup-Effekt zu verhindern, wird die Summenbildung esum auf +-400 begrenzt. Der Wert wurde so gew√§hlt, dass noch eine volle Aussteuerung durch den I-Anteil m√∂glich ist. Zum Schluss wird die Stellgr√∂√üe y auf die m√∂gliche Aussteuerung des Stellglieds (0...255) begrenzt.

Programmbeispiel digitaler PI-Regler:

	e = w - x;				//Vergleich
	esum = esum + e;			//Integration I-Anteil
	if (esum < -400) {esum = -400;}	        //Begrenzung I-Anteil
	if (esum > 400) {esum = 400;}
	y = Kp*e + Ki*Ta*esum;			//Reglergleichung
	if (y < 0) {y = 0;}			//Begrenzung Stellgröße
	if (y > 255) {y = 255;}
	PWM = y;				//Übergabe Stellgröße

Beispiel: Lageregelung

Unter einer Lageregelung versteht man die Positionierung von Objekten. Als Beispiel soll hier ein kleiner Bot mit Radencoder eine bestimmte Wegl√§nge fahren. Gegen√ľber der Drehzahl- oder Geschwindigkeitsregelung ist bei der Lageregelung noch ein zus√§tzlicher Integrator in der Strecke vorhanden. Die gesamte Strecke ist damit ein I-Glied mit Verz√∂gerung. Laut Tabelle im Abschnitt ‚ÄěDimensionierung des Reglers‚Äú ist daf√ľr ein PD-Regler gut geeignet. Der PD-Regler wird digital ausgef√ľhrt, zur Simulation und Parametrierung bietet sich deshalb Scicos an.

Da bei einer Lageregelung der Geschwindigkeitsbereich von Null aus geht, also √ľber den nichtlinearen Bereich geht, sollte auch in der Simulation die Nichtlinearit√§t ber√ľcksichtigt sein. F√ľr das Beispiel wird deshalb das Modell eines Antriebs mit Haft- und Gleitreibung genommen, wie es unter "Modellierung eines Antriebs ‚Äď detailliertes Modell" bereits vorgestellt wurde. Im Scicos-Modell ist der Antrieb der √úbersichtlichkeit wegen als Superblock ausgef√ľhrt. Das Blockschaltbild des Antriebs im Detail ist hier zu sehen. Die Daten sind:

R = 16 Ohm; L = 6 mH; m = 0.31 kg; Kf = 6.6 N/A

Als Sensor kommt ein Inkrementalgeber zum Einsatz, allerdings muss der richtungssensibel sein, sonst ist keine Lageregelung möglich. Der Sensor wird in Scicos mit der Rundungsformel (round(u1*500)) simuliert. Das ergibt bei einer Auflösung von 2mm ganzzahlige Schritte, wie es auch die Hardware (Inkrementalgeber mit nachfolgendem Zähler) in Wirklichkeit macht.

Bild:Lageregelung.png

Nach dem Regler folgt ein Block mit der Verst√§rkung (5/255), der den PWM-Wert auf die Ansteuerspannung f√ľr den Motor umsetzt. Der Bruch 5/255 entspricht der Ansteuerspannung von 5V bei PWM=255. Der PD-Regler kann damit in Scicos exakt so simuliert werden, wie er schlussendlich auch als C-Code umgesetzt wird. Dazu wird der Code des PD-Reglers als Funktion in den Scifunc-Block eingegeben. Der Code ist etwas unterschiedlich zum C-Code des realen Bots, da die Syntax in Scicos doch geringf√ľgig anders ist und die Eingangs- und Ausgangsvariablen nur bestimmte Bezeichnungen haben d√ľrfen. Im nachfolgenden Codefenster sind beide Varianten im Vergleich zu sehen.

Scifunc-Code:

y1=Kp*u1+Kd/Ta*(u1-z);
z=u1;
if y1>255 then
y1=255;
end
if y1<-255 then
y1=-255;
end
C-Code f√ľr ¬ĶC:
e = w - x;
y = Kp*e + Kd/Ta*(e-ealt);
ealt = e;
if (y > 255) {
    y = 255;
    }
if (y < -255) {
    y = -255;
    }
Kommentar:
Vergleich
PD-Reglergleichung
alten Wert speichern

pos. Begrenzung


neg. Begrenzung

In der praktischen Umsetzung des C-Codes wird man den Bruch Kd/Ta durch eine Ersatzvariable oder Konstante ersetzen. Dabei ergibt sich (wie in diesem Beispiel 2/0.01 = 200) meistens ein ganzzahliger Wert, was sich positiv auf die Rechenzeit auswirkt.

F√ľr die Abtastzeit Ta wurde 10ms gew√§hlt. Das ist einerseits nicht zu schnell f√ľr einen ¬ĶC und andererseits nicht zu lang, um die Regelung unn√∂tig zu verlangsamen. Die Parametrierung von Kp und Kd erfolgte empirisch durch Probieren in der Simulation. Begonnen wurde mit einem reinen P-Regler und kleinem P-Anteil (Kp=1, Kd=0). In groben Schritten wurde Kp solange erh√∂ht, bis sich deutlich √úberschwinger zeigten. Dann wurde ein D-Anteil hinzugef√ľgt und Kd so variiert, dass der √úberschwinger verschwindet. Mit ein bisschen Feintuning ergaben sich so die Werte Kp=61 und Kd=2. Das Simulationsergebnis f√ľr Ansteuerspannung, Geschwindigkeit und Weg sieht damit folgenderma√üen aus:

Bild:Lage_antwort.png

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Siehe auch


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